Alfabet grecki, czyli mierniki wrażliwości opcji

Opcja to niezwykle wrażliwy instrument finansowy. Stąd dla każdej z wrażliwych cech przypisano wskaźnik, który jak to zwykle w matematyce bywa, ochrzczono greckim imieniem. Stąd noszą one miano wskaźników greckich, z angielskiego greeks.

Delta

Jest to najbardziej znany wskaźnik grecki stosowany w dynamicznym zabezpieczeniu portfela (F9) jak też przez aktywnych graczy giełdowych. Wskaźnik ten mierzy zmiany ceny opcji względem zmian ceny aktywa bazowego, a matematycznie stanowi on relację między ceną opcji oraz ceną aktywa.

1)



gdzie:
ΔP – zmiana ceny opcji (F1)
ΔP – zmiana ceny aktywa bazowego
Dla bardzo małych zmian wartości instrumentu bazowego, delta stanowi pochodną ceny opcji względem ceny aktywa bazowego:

2)



Z rachunku różniczkowego wynika, że delta jest tangensem kąta α nachylenia do osi poziomej, linii stycznej do krzywej zmiany ceny opcji.

3)



Wskaźnik ten pokazuje o ile zmieni się cena opcji przy jednostkowej zmianie ceny aktywa bazowego.
Jeżeli delta jest równa zeru wówczas dana opcja jest pozbawiona ryzyka, gdyż zmiana ceny aktywa bazowego nie powoduje zmiany jej ceny. Jest to jednak sytuacja krańcowa, Aczkolwiek opcje takie są przedmiotem obrotu, gdyż inwestorzy liczą na wzrost ich wartości, jeżeli zmieniłaby się warunki rynkowe, np. zmiana stóp procentowych lub wzrost zmienności ceny aktywa bazowego.

Krzywa ceny opcji posiada dwie asymptoty. Dla opcji kupna jest to oś odciętych, na której są przedstawione wartości aktywa bazowego oraz linia nachylona po kątem 450. Wskaźnik delta opcji kupna zmienia się w przedziale (0;1).



Wykres 1. Cena opcji kupna (call) w zależności od ceny aktywa bazowego


Jak wynika z wykresu 1 cena opcji kupna nie może szybciej wzrastać, niż wzrasta cena aktywa bazowego. Wraz ze wzrostem ceny aktywa bazowego wzrasta powiązanie ceny opcji z ceną aktywa bazowego. Dla opcji kupna będącej głęboko w pieniądzu (deep in the money) wskaźnik delta jest bliski jedności. Dla inwestora stanowi on informację o prawdopodobieństwie, że opcja wygaśnie w pieniądzu (in the money), co ma szczególne znaczenie przy podejmowaniu decyzji o zakupie opcji.

W przypadku opcji sprzedaży linia ceny opcji jest ograniczona poziomą osią ceny aktywa bazowego oraz linia nachyloną pod kątem 1350. Wskaźnik delta zmienia się w przedziale (-1;0).



Wykres 2. Cena opcji sprzedaży (put) w zależności od ceny aktywa bazowego


Tutaj sytuacja jest analogiczna do opisanej dla opcji kupna. Cena opcji kupna nie może szybciej wzrastać, niż spada cena aktywa bazowego. Dla opcji sprzedaży będącej głęboko w pieniądzu (deep in the money) wskaźnik delta jest bliski -1. W tym przypadku wartość bezwzględna delty określa prawdopodobieństwo wygaśnięcia opcji w pieniądzu.

Im bardziej opcja jest poza pieniądzem, tym wartość delta jest bliższa 0. Dla opcji przy pieniądzu (at the money) delta wynosi około 0,5 lub –0,5.

Tabela 1. Wartości delta dla różnych rodzajów opcji
Rodzaj opcji
out of the money
at the money
in the money
Opcja kupna
Bliskie + 0
Bliskie + 0,5
Bliskie + 1
Opcja sprzedaży
Bliskie - 0
Bliskie - 0,5
Bliskie - 1


Na wykresie 3 przedstawiono krzywe zawierające wartości współczynnika delta dla opcji kupna i opcji sprzedaży. Wykres taki powstaje poprzez zróżniczkowanie funkcji opisującej zmiany ceny opcji przedstawione na wykresie 1 i 2.

Im bardziej opcja jest w pieniądzu (deep in the money) lub poza pieniądzem (deep out of the money) zmiany delty są mniejsze. Największe zmiany współczynnika delta występują gdy opcja jest przy pieniądzu (at the money).





Wykres 3. Delta w zależności od ceny aktywa bazowego


Pomiędzy wartościami współczynnika delta dla opcji kupna (call) oraz sprzedaży (put) opiewających na to samo aktywo, o takiej samej cenie wykonania oraz terminie wygasania zachodzi następująca zależność.

4)



Współczynnik delta instrumentu bazowego wynosi:
+ 1 dla pozycji długiej (np. kupno akcji),
- 1 dla pozycji krótkiej (np. krótka sprzedaż akcji).

Delta portfela aktywów

Niejednokrotnie inwestor posiada w portfelu wiele opcji (F1), które charakteryzują się różnymi parametrami oraz wskaźnikami delta. Stąd dla określenia uśrednionego współczynnika portfela wykorzystuje się następujący wzór:

5)



gdzie:
ni - ilość i-tej opcji w portfelu
δi - współczynnik delta i-tej opcji

Przykład 3.
Inwestor (A3) kupił 75 opcji kupna na akcje spółki XYZ, o współczynniku δ = 0,2 oraz 25 opcji sprzedaży na te akcje, charakteryzujących się współczynnikiem δ=-0,4. Należy obliczyć współczynnik całego portfela.
δ = 75 * 0,2 + 25 * (-0,4) = 5

Przykład 2.
Inwestor kupił 10 opcji kupna na akcje spółki ABC, o współczynniku δ = 0,6 oraz sprzedał 10 opcji sprzedaży na te akcje charakteryzujących się współczynnikiem δ = - 0,8. Należy obliczyć współczynnik δ całego portfela.
δ = 10 * 0,6 - 10 * (-0,8) = - 2

Przykład 3.
Inwestor sprzedał 50 opcji sprzedaży na akcje spółki XYZ o współczynniku δ = - 0,8 oraz kupił 20 opcji kupna o współczynniku δ = 0,5 na te akcje. Jaką pozycję winien on zająć w akcjach tej spółki aby uzyskany w ten sposób portfel był wolny od ryzyka.
- 50 * (-0,8) + 20 * 0,5 + n * 1 = 0
stąd n = - 50

Inwestor winien dokonać krótkiej sprzedaży 50 akcji spółki XYZ.

Gamma

Współczynnik gamma charakteryzuje zmianę współczynnika delta w zależności od zmiany ceny aktywa bazowego. Stanowi on pierwszą pochodną współczynnika delta oraz drugą pochodną ceny opcji (F1) względem ceny aktywa bazowego.

6)


lub

7)



Wskaźnik ten pokazuje zmianę wskaźnika delta w sytuacji zmiany ceny aktywa bazowego o jednostkę.
Gamma przybiera takie same wartości dla opcji kupna, jak dla opcji sprzedaży. Łatwo to wykazać różniczkując wykresy obrazujące przebieg delta. Styczne do obydwu wykresów są nachylone pod tym samym kątem.

Im bardziej opcja jest w pieniądzu (in the money) lub poza pieniądzem (out of the money) tym wartości gamma są bliższe 0, co oznacza, że zmiany wartości delta są wówczas bardzo małe. W przypadku, gdy opcja jest at the money, gamma osiąga wartości najwyższe. Na wykresie 1 i 2 widać, że w tym zakresie następuje najszybsza wartości delta.

Dla aktywa bazowego wskaźnik gamma wynosi 0, gdyż delta wynosi 1 lub –1. Na poniższym wykresie przestawiono zależność współczynnika gamma od ceny aktywa bazowego.



Wykres 4. Gamma w zależności od ceny aktywa bazowego

Theta

Współczynnik theta mierzy zmiany ceny opcji w stosunku do upływu czasu, przy założeniu, że cena oraz zmienność aktywa bazowego pozostają bez zmian. Jest to pochodna ceny opcji względem czasu i opisuje tempo, w jakim spada wartość zewnętrzna opcji wraz z upływem jednostki czasu.

8)





Wykres 5. Theta w zależności od ceny aktywa bazowego


W związku z tym, że w miarę upływu czasu wartość opcji spada, co powoduje, że różnice cen są ujemne, wartość współczynnika theta jest ujemna.

Vega (kappa) i Rho

Współczynnik vega (kappa, epsilon, tau, lambda, zeta) odzwierciedla zmianę ceny opcji w zależności od zmienności ceny aktywa bazowego, mierzonej odchyleniem standardowym.

9)





Wykres 6. Vega w zależności od ceny aktywa bazowego


Wartość współczynnika vega jest liczbą dodatnią. Najwrażliwsze na zmiany ceny aktywa bazowego są opcje przy pieniądzu (at the money).

Rho

Współczynnik rho stanowi zmianę ceny opcji w zależności od procentowej zmiany stopy procentowej wolnej od ryzyka.

10)

Portfel odporny na wszystko

Czy można zbudować portfel odporny na ryzyko (A21) wynikające ze wszystkich wymienionych powyżej wskaźników? Odpowiedź brzmi tak. Należy tak dobrać skład, aby wskaźniki greckie liczone dla całego portfela uległy wyzerowaniu. Oprócz pozycji w opcjach (F1) taki portfel może zawierać aktywa bazowe, zarówno w pozycji długiej, jak również krótkiej. Jednak tak skonstruowany portfel nie pozostaje długo obojętny na ryzyko, gdyż uwarunkowania rynkowe ulegają ciągłym zmianom. Stąd zadaniem zarządzającego ryzykiem finansowym jest ciągłe monitorowanie wszystkich wskaźników i w razie odchyleń od zera dokonywanie korekty składu portfela.

W efekcie można w ten sposób utrzymać portfel pozbawiony ryzyka. Niestety nie posiada on potencjału zarabiania, gdyż jest on związany z ryzykiem, które w tym przypadku jest ustawicznie wyeliminowane. Dlatego też takie strategie są stosowane w instytucjach finansowych, np. bankach, które posiadają otwarte pozycje w opcjach uzyskane w transakcjach z klientami.

Jan Mazurek
Źródło:

Newsletter Bankier.pl

Dodałeś komentarz Twój komentarz został zapisany i pojawi się na stronie za kilka minut.

Jeszcze nikt nie skomentował tego artykułu - Twój komentarz może być pierwszy.

Nowy komentarz

Anuluj
WIG -0,74% 56 839,15
2019-05-23 10:32:00
WIG20 -0,94% 2 193,46
2019-05-23 10:47:45
WIG30 -0,90% 2 527,58
2019-05-23 10:47:00
MWIG40 -0,42% 3 940,94
2019-05-23 10:32:45
DAX -1,60% 11 973,63
2019-05-23 10:43:00
NASDAQ -0,45% 7 750,84
2019-05-22 22:03:00
SP500 -0,28% 2 856,27
2019-05-22 22:08:00

Znajdź profil

Znajdź nas na Facebooku

Przejdź do strony za 5 Przejdź do strony »

Czy wiesz, że korzystasz z adblocka?
Reklamy nie są takie złe

To dzięki nim możemy udostępniać
Ci nasze treści.