Portfel dwóch aktywów
Opisane w niniejszym poradniku zagadnienia stanowią trzeci z kolei rodzaj analizy, określany mianem analizy portfelowej. Fundamenty dla jej rozwoju, docenione przyznaniem Nagrody Nobla, stworzył Harry Markowitz.Podstawą teorii portfelowej jest budowanie zdywersyfikowanego portfela przy uwzględnieniu powiązań pomiędzy stopami zwrotu pomiędzy poszczególnymi jego składnikami. Miarą tego powiązania są współczynniki korelacji.
Zanim jednak zaczniemy analizować portfele składające się z wielu akcji przyjrzyjmy się portfelowi najprostszemu – składającemu się z dwóch akcji.
Pomiędzy udziałami akcji, zachodzi następująca zależność:
(1)
gdzie:
w1 – udział pierwszej akcji w wartości portfela
w2 – udział drugiej akcji w wartości portfela
Oczekiwana stopa zwrotu takiego portfela określona jest wzorem:
(2)
gdzie:
E(Rp) – oczekiwana stopa zwrotu portfela
E(R1) – oczekiwana stopa zwrotu z pierwszej akcji
E(R2) – oczekiwana stopa zwrotu z drugiej akcji
Przykład 1. Inwestor kupił za kwotę 100 tys. PLN akcje dwóch spółek: Alfa i Beta. Akcje spółki Alfa kosztowały 60 tys. PLN, natomiast za pozostałą kwotę nabył akcje spółki Beta. Oczekiwane stopy zwrotu z akcji wynoszą odpowiednio 10% oraz 8%.
Udziały poszczególnych akcji stanowią:
Stąd oczekiwana stopa zwrotu tak skonstruowanego portfela wynosi:
Ryzyko portfela, którego miarą jest wariancja dla dwóch akcji można obliczyć z poniższego wzoru:
(3)
natomiast odchylenie standardowe:
(4)
lub po podstawieniu wzoru (3)
(5)
gdzie:
Vp – wariancja stóp zwrotu portfela
σp – odchylenie standardowe stóp zwrotu portfela
ρ12 – korelacja stóp zwrotu akcji
Przykład 1.
Inwestor kupił za kwotę 100 tys. PLN akcje dwóch spółek: Alfa i Beta. Akcje spółki Alfa kosztowały 60 tys. PLN, natomiast za pozostałą kwotę akcje spółki Beta. Oczekiwane stopy zwrotu stanowią odpowiednio 10% oraz 8% a współczynnik korelacji wynosi –0,4.
Udziały poszczególnych akcji wynoszą więc:
Oczekiwana stopa zwrotu tak skonstruowanego portfela wynosi:
natomiast wariancja stóp zwrotu portfela:
stąd odchylenie standardowe portfela wynosi:
Jak wynika z powyższych obliczeń zbudowany przez inwestora portfel składający się z dwóch akcji charakteryzuje się następującymi parametrami: E(Rp) = 9,2% oraz σp = 5,56%.
Widzimy, że wartość oczekiwana stóp zwrotu portfela jest niższa, niż wartość oczekiwana dla akcji spółki Alfa, jednak pozostaje wyższa niż dla akcji spółki Beta.
Jednak odchylenie standardowe, a zatem ryzyko portfela jest niższe niż odchylenia standardowe każdej z akcji Alfa i Beta. Jak widać zbudowanie portfela z więcej niż jednej akcji skutkuje obniżeniem ryzyka inwestycyjnego. Przyczyną tego jest ujemna korelacja stóp zwrotu, która w rozważanym przypadku wynosiła (–0,4).
Jeżeli współczynnik korelacji byłby dodatni i wynosił np. (+0,4), wówczas po podstawieniu do wzorów odchylenie standardowe stóp zwrotu stanowiłoby 7,85%. To więcej niż dla korelacji ujemnej, lecz w dalszym ciągu mniej niż dla którejkolwiek z akcji znajdujących się w portfelu.
Jak wpływa współczynnik korelacji na odchylenie standardowe portfela zbadajmy dla jego szczególnych wartości (-1), 0, (+1). Po podstawieniu do wzoru (5) otrzymujemy:
Jak widać wraz ze zbliżaniem się współczynnika korelacji do wartości (-1) spada ryzyko portfela akcji. I odwrotnie – przy współczynniku korelacji równym (+1) ryzyko portfela jest najwyższe. Dla wartości granicznych współczynnika korelacji wzór (5) na odchylenie standardowe ulega uproszczeniu:
(6)
Z wzoru tego można określić, przy jakich udziałach ryzyko portfela składającego się z dwóch akcji o idealnie odwrotnej korelacji będzie równe zeru:
(7)
(8)
Przykład 2.
Obliczmy, jakie udziały akcji spółki A i B, idealnie skorelowanych ujemnie, pozwalają na konstrukcję portfela pozbawionego ryzyka, jeżeli odchylenia standardowe stóp zwrotu tych akcji wynoszą odpowiednio 10% oraz 15%.
W przypadku korelacji idealnie dodatniej, kiedy ρ12 = +1, wzór na obliczanie odchylenia standardowego przyjmuje postać:
(9)
Korzystając z zależności przedstawionej we wzorze (1) otrzymujemy liniową zależność wielkości odchylenia standardowego od udziału jednej z akcji.
(10)
Dla podanego powyżej przykładu odchylenie standardowe portfela wynosi:
W rzeczywistości trudno znaleźć aktywa o idealnej korelacji ujemnej i dodatniej. Jednak te skrajne przypadki posłużą dalszej analizie strategii inwestycyjnych opartych na analizie portfelowej.
Modelowanie składu portfela dwóch akcji
Obecnie przeanalizujemy wyniki uzyskane przy różnych proporcjach składu portfela. W tym celu, przy danym współczynniku korelacji, naniesiono na wykres wartości ryzyka oraz odpowiadające mu stopy zwrotu (przykład 3). Zbiory punktów utworzyły trzy parabole – każda dla innego poziomu współczynnika korelacji.Przykład 3.
Inwestor posiada pewną kwotę, którą zamierza przeznaczyć na zakup dwóch akcji spółek A i B, których oczekiwane stopy zwrotu wynoszą 10% oraz 15%, natomiast odchylenia standardowe stóp zwrotu z tych akcji - odpowiednio 12% i 16%. Współczynnik korelacji między tymi akcjami wynosi 0. Problem polega na dobraniu udziałów każdej z akcji, aby uzyskać najmniejsze ryzyko portfela.
W tym celu, zgodnie z wzorami (2) i (5), wykonano obliczenia odchylenia standardowego portfela przy różnych udziałach akcji A i B. Całość została przedstawiona w układzie współrzędnych ryzyko – stopa zwrotu (σ, R). Dodatkowo przeprowadzono analizę przy współczynnikach korelacji (-1) oraz (+1).
Wykr. 1. Stopy zwrotu i ryzyko w zależności od współczynnika korelacji/center>
Obliczenia wykazały, że najmniejsze ryzyko występuje przy składzie portfela: 40% akcji A oraz 60% akcji B. Przy współczynnikach korelacji (-1), 0, (+1) wynosi ono odpowiednio 0,8%, 9,6%%, 13,6%.
Krzywa efektywności
W praktyce zazwyczaj w portfelach inwestorów znajdują się akcje więcej niż dwóch spółek. Dla dowolnej liczby spółek wzory na oczekiwaną stopę zwrotu oraz na odchylenie standardowe portfela przybierają postać:(11)
Ten skomplikowany wzór po dostosowaniu do portfela składającego się z trzech akcji przybiera postać:
Przykład:
Dane są akcje trzech spółek A, B, C o następujących charakterystykach:
Dobierając różne kombinacje udziałów każdej z akcji można obliczyć możliwe stopy zwrotu oraz odchylenia standardowe portfela. Po naniesieniu na wykres (σ, R) otrzymujemy figurę jak na wykresie 2. Jest określane mianem zbioru możliwości.
Wykr. 2. Stopy zwrotu i ryzyko portfela akcji trzech spółek
Jak widać najmniejsze odchylenie standardowe (ryzyko) odpowiada składowi portfela oznaczonemu punktem X. Portfele znajdujące się na fragmencie krzywej pomiędzy punktami X oraz C charakteryzują się najwyższą stopą zwrotu przy danym ryzyku. Linia ta nosi nazwę granicy efektywnej (ang. efficient frontier). Każdy inny portfel przy tym samym ryzyku będzie charakteryzować się niższą stopą zwrotu. Stąd inwestor winien tworzyć portfel o składzie akcji, jaki odpowiada portfelom znajdującym się na granicy efektywnej.
Wskazany rozsądek
Przy selekcji aktywów do portfela należy więc zwracać uwagę nie tylko na oczekiwane stopy zwrotu poszczególnych aktywów, lecz również na współczynniki korelacji pomiędzy poszczególnymi parami aktywów. Jeżeli będą bliskie (-1) wówczas redukcja ryzyka jest najwyższa. Nie daje pozytywnego efektu dobór aktywów dodatnio wysoko skorelowanych - zmniejszenie ryzyka portfela może być nieznaczne. W praktyce trudno znaleźć wiele aktywów, które spełniają ten wymóg. Praktyka pokazuje także, że po osiągnięciu ilości akcji 15-20 spółek ryzyko portfela nie ulega już znaczącemu zmniejszeniu. Wzrastają natomiast koszty transakcyjne oraz pracochłonność analiz. Wskazane jest więc, aby rozsądnie podchodzić do zagadnienia dywersyfikacji aktywów. Aby uzyskać pozytywny efekt w tym zakresie, należy przestrzegać następujących zasad:1) Dobierać wyłącznie akcje skorelowane ujemnie lub nisko skorelowane ze sobą.
2) Nie inwestować w zbyt dużą ilość spółek.
3) Wybierać spółki, które w przeszłości w różnych okresach posiadały podobne stopy zwrotu oraz zmienność kursów.
Stosując metodę inwestowania z wykorzystaniem analizy portfelowej należy mieć na uwadze, że obliczenia są przeprowadzane na podstawie danych historycznych, które mogą w przyszłości się nie powtórzyć. Należy liczyć się, że w przypadku przesileń na giełdzie, szczególnie w okresie bessy współczynniki korelacji między większością akcji wyraźnie wzrastają.
Jan Mazurek
Źródło:
