Stopa zwrotu
Stopa zwrotu jest jednym z podstawowych parametrów opisujących jakość inwestycji w instrumenty finansowe. Obliczana jest ona, jako stosunek osiągniętego zysku do poniesionych nakładów inwestycyjnych. Niestety nikt nie jest w stanie z całą pewnością określić przyszłej stopy zwrotu. Stąd są one szacowane z uwzględnieniem wyników historycznych.W przypadku akcji stopa zwrotu za dany okres jest obliczana przy pomocy wzoru:
gdzie:
Rt – stopa zwrotu za okres „t”
Pt – cena akcji na koniec okresu „t”
Pt-1 – cena akcji na koniec poprzedzającego okresu
Dt – dywidenda wypłacona w okresie „t”
Przykład 1.
Inwestor (A3) kupił na początku roku jedną akcję (A4) spółki Alfa po kursie 15,80 PLN. Na koniec roku jej kurs (A13) wzrósł do 21,40 PLN. Jednocześnie w ciągu roku spółka wypłaciła dywidendę (A5) w wysokości 0,60 PLN na każdą akcję. Stąd stopa zwrotu z inwestycji za rok wyniosła:
Przy określaniu oczekiwanej stopy zwrotu, jaką można uzyskać z danego papieruwartościowego (A2), przyjmuje się, że jest ona zmienną losową, a jej wartość zależy od prawdopodobieństwa spełnienia określonych scenariuszy, jakie mogą mieć miejsce na rynku. Oczekiwaną stopę zwrotu oblicza się z wzoru:
gdzie:
E(R) – oczekiwana stopa zwrotu
pi – prawdopodobieństwo wystąpienia danej stopy zwrotu przy scenariuszu „i”
E(Ri)– oczekiwana stopa zwrotu przy scenariuszu „i”
m – ilość scenariuszy sytuacji na rynku
Przykład 2.
Szacujemy oczekiwaną stopę zwrotu na najbliższy rok akcji spółki Alfa. Zakładając, że w przypadku dobrej sytuacji na rynku przyniesie ona zysk w wysokości 20%, w przypadku średniej sytuacji 10%, a w przypadku dekoniunktury – stratę 8%. Z prognoz ekonomistów wynika, że prawdopodobieństwo dobrej koniunktury rynkowej wynosi 0,5, średniej 0,2 i złej 0,3.
Stąd oczekiwana stopa zwrotu akcji spółki Alfa wynosi:
Oczekiwaną stopę zwrotu można również obliczyć na podstawie historycznych stóp zwrotu. Wówczas zastosowania na następujący wzór:
gdzie:
n – ilość historycznych stóp zwrotu (np. sesji)
Przykład 3.
Akcje spółki Gamma w okresie ostatnich 5 sesji osiągały następujące stopy zwrotu:
Stąd oczekiwana stopa zwrotu stanowi średnią arytmetyczną wszystkich stóp zwrotu z tego okresu.
Oczekiwana stopa zwrotu portfela aktywów, np. akcji stanowi średnią oczekiwanych stóp zwrotu ważoną udziałami poszczególnych składników tego portfela.
gdzie:
E(Rj)– oczekiwana stopa zwrotu akcji spółki „j”
Przykład 4.
Inwestor zainwestował w akcje trzech spółek A, B, C. Ich udziały oraz oczekiwane stopy zwrotu kształtują się następująco:
Stąd oczekiwana stopa zwrotu tak skonstruowanego portfela wynosi:
Ryzyko papierów wartościowych
Ryzyko jest immanentnie związane z inwestycjami na rynku kapitałowym (A2). Jest to drugi podstawowy parametr charakteryzujący inwestycję, determinujący decyzje podejmowane przez inwestorów (A3). Ryzyko to inaczej mówiąc niepewność, co do przyszłej stopy zwrotu. Wzrasta ono wraz ze zmiennością stóp zwrotu, i nie ma tu znaczenia czy są to zmiany dodatnie czy ujemne.Miarą ryzyka jest wariancja stopy zwrotu papieru wartościowego (A2). Można ją obliczyć korzystając ze wzoru:
gdzie:
V – wariancja stopy zwrotu
pi – prawdopodobieństwo wystąpienia danej stopy zwrotu
Ri – możliwa do uzyskania stopa zwrotu przy danym prawdopodobieństwie
Kolejną, a zarazem najczęściej wykorzystywaną miarą ryzyka jest odchylenie standardowe stopy zwrotu. W ujęciu matematycznym stanowi ono pierwiastek kwadratowy wariancji.
Przykład 5.
Akcje dwóch spółek X i Y charakteryzują się różnymi stopami zwrotu w każdej z możliwych sytuacji na giełdzie: hossa (C1), konsolidacja, bessa (C1). W tabeli zestawiono stopy zwrotu, jakie charakteryzowały te akcje (A4) w przeszłości. Określono przy tym prawdopodobieństwo każdego ze scenariuszy na parkiecie giełdowym.
Jeżeli dla obliczeń wariancji i odchylenia standardowego są wykorzystywane dane z przeszłości, wówczas stosuje się następujące wzory:
Natomiast odchylenie standardowe stóp zwrotu określa wzór:
Przykład 6.
Obliczmy wariancję i odchylenie standardowe stóp zwrotu dla danych z przykładu 3.
Po podstawieniu do wzoru 7 otrzymujemy:
Współczynnik zmienności
Wybór najlepszej inwestycji w akcje (A4) na podstawie stóp zwrotu oraz odchyleń standardowych może być niejednokrotnie trudny ze względu na duży rozrzut tych danych.Stąd do analizy wykorzystuje się współczynnik zmienności. Stanowi on relację ryzyka do zysku związanego z danym papierem wartościowym (A2), a zatem wskazuje ile ryzyka przypada na jednostkę stopy zwrotu. Określa go wzór:
Przykład: Do obliczeń współczynnika zmienności wykorzystamy dane z przykładu 4. Po podstawieniu otrzymujemy:
Im wyższa wartość współczynnika zmienności tym wyższym ryzykiem jest obarczony zysk z inwestycji w dany papier wartościowy.
Przykład 7.
Inwestor (A3) stoi przed problemem wyboru zakupu akcji jednej z trzech spółek: A, B, C. Posiada przy tym dane za ostatni rok i zakłada, że w przyszłości stopy zwrotu oraz ryzyko związane z inwestycją w te akcje będzie takie samo. Akcje dwóch spółek charakteryzują się takimi samymi stopami zwrotu oraz takim samym ryzykiem.
Na pytanie, które akcje winien wybrać, da mu odpowiedź obliczenie współczynników zmienności.
Jak widać, najniższym ryzykiem względem stopy zwrotu są obarczone akcje spółki A. Inwestor winien więc zainwestować w tą spółkę, pomimo, że jej akcje nie charakteryzują się najwyższą stopą zwrotu z prezentowanej grupy.
Nie można wykorzystywać współczynnika zmienności porównując różne rodzaje instrumentów finansowych, np. akcje i obligacje (A8). Obligacje, szczególnie skarbowe (A15), charakteryzują się ryzykiem bliskim zera, stąd porównywanie ich do akcji prowadziłoby zawsze do jednego wniosku – inwestuję w obligacje. Dlatego też współczynnik ten stanowi cenne narzędzie przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych na rynku akcji. Należy zaznaczyć, że współczynnik zmienności nie ma zastosowania w przypadku ujemnych stóp zwrotu.
Korelacja stóp zwrotu
Korelacja to inaczej powiązanie stóp zwrotu z dwóch różnych papierów wartościowych (A2). Stopień powiązania dwóch akcji jest mierzony przy pomocy współczynnika korelacji Pearsona.Jeżeli do obliczeń przyjmuje się prawdopodobieństwo wystąpienia określonej stopy zwrotu z akcji (A4) wówczas ma zastosowanie poniższy wzór:
gdzie:
ρ – współczynnik korelacji między akcją A i akcją B
pi – prawdopodobieństwo wystąpienia danej stopy zwrotu
RAi – możliwa stopa zwrotu z akcji A
RBi – możliwa stopa zwrotu z akcji B
RA – oczekiwana stopa zwrotu z akcji A
RB – oczekiwana stopa zwrotu z akcji B
σA– odchylenie standardowe stóp zwrotu z akcji A
σB – odchylenie standardowe stóp zwrotu z akcji B
n – ilość danych do obliczeń (sesji)
Często do obliczeń współczynnika korelacji wykorzystuje się notowania historyczne. W takim przypadku współczynnik ten jest obliczany z wzoru.
Współczynnik korelacji przyjmuje wartości z przedziału domkniętego <-1;+1>. Znak (+) współczynnika korelacji świadczy, że występuje dodatnia korelacja akcji. Wówczas wzrostowi stopy zwrotu z jednej akcji towarzyszy wzrost stopy zwrotu z drugiej akcji. Znak (-) współczynnika dowodzi ujemnej korelacji, co oznacza, że wzrostowi stopy zwrotu jednej z akcji odpowiada spadek stopy zwrotu z drugiej akcji.
Im wyższa jest wartość bezwzględna współczynnika korelacji, tym większy stopień powiązania stóp zwrotu. Najsilniej są powiązane aktywa, jeżeli współczynnik korelacji zbliżony jest do +1 lub –1, co oznacza wysoką korelację dodatnią lub ujemną. O braku korelacji mówi się, kiedy współczynnik korelacji jest bliski lub równy zeru. Najczęściej na rynku akcji występuje dodatnia korelacja, która wzrasta jeszcze bardziej w okresie panicznej wyprzedaży akcji, charakterystycznej dla bessy (C1). Ujemną korelacją charakteryzują się aktywa należące do różnych klas, na przykład akcje i złoto (H3).
Wykres 1. Przykład korelacji dodatniej
Kowariancja to kolejna miara siły powiązania stóp zwrotu między akcjami. Jej wartość zależy od zmienności stóp zwrotu. Podobnie, jak w przypadku korelacji, można obliczać ją z wykorzystaniem prognoz przyszłych stóp zwrotu lub wyników historycznych. W tym celu wykorzystuje się wzory.
Dla zobrazowania powiązań wielu akcji tworzy się symetryczną macierz kowariancji. Na przykład dla czterech akcji A, B, C, D wygląda ona następująco:
Wartości kowariancji leżące po przekątnej macierzy stanowią wariancję stóp zwrotu, gdyż są kowariancją dwóch takich samych akcji.
Pomiędzy współczynnikiem kowariancji oraz współczynnikiem korelacji zachodzi następująca relacja:
Stąd znając kowariancję oraz odchylenia standardowe można określić współczynnik korelacji stóp zwrotu między dwoma instrumentami finansowymi. Omówione powyżej miary pozwalają na budowę portfela, gdzie kryterium doboru aktywów są stopy zwrotu oraz ryzyko - taki sposób doboru portfela jest używany w analizie portfelowej.
Jan Mazurek
Źródło:
