Podstawą teorii portfelowej jest budowanie zdywersyfikowanego portfela przy uwzględnieniu powiązań pomiędzy stopami zwrotu pomiędzy poszczególnymi jego składnikami. Miarą tego powiązania są współczynniki korelacji.
Zanim jednak zaczniemy analizować portfele składające się z wielu akcji przyjrzyjmy się portfelowi najprostszemu – składającemu się z dwóch akcji.
Pomiędzy udziałami akcji, zachodzi następująca zależność:
(1)
gdzie:
w1 – udział pierwszej akcji w wartości portfela
w2 – udział drugiej akcji w wartości portfela
Oczekiwana stopa zwrotu takiego portfela określona jest wzorem:
(2)
gdzie:
E(Rp) – oczekiwana stopa zwrotu portfela
E(R1) – oczekiwana stopa zwrotu z pierwszej akcji
E(R2) – oczekiwana stopa zwrotu z drugiej akcji
Przykład 1. Inwestor kupił za kwotę 100 tys. PLN akcje dwóch spółek: Alfa i Beta. Akcje spółki Alfa kosztowały 60 tys. PLN, natomiast za pozostałą kwotę nabył akcje spółki Beta. Oczekiwane stopy zwrotu z akcji wynoszą odpowiednio 10% oraz 8%.
Udziały poszczególnych akcji stanowią:
Stąd oczekiwana stopa zwrotu tak skonstruowanego portfela wynosi:
Ryzyko portfela, którego miarą jest wariancja dla dwóch akcji można obliczyć z poniższego wzoru:
(3)
natomiast odchylenie standardowe:
(4)
lub po podstawieniu wzoru (3)
(5)
gdzie:
Vp – wariancja stóp zwrotu portfela
σp – odchylenie standardowe stóp zwrotu portfela
ρ12 – korelacja stóp zwrotu akcji
Przykład 1.
Inwestor kupił za kwotę 100 tys. PLN akcje dwóch spółek: Alfa i Beta. Akcje spółki Alfa kosztowały 60 tys. PLN, natomiast za pozostałą kwotę akcje spółki Beta. Oczekiwane stopy zwrotu stanowią odpowiednio 10% oraz 8% a współczynnik korelacji wynosi –0,4.
Udziały poszczególnych akcji wynoszą więc:
Oczekiwana stopa zwrotu tak skonstruowanego portfela wynosi:
natomiast wariancja stóp zwrotu portfela:
stąd odchylenie standardowe portfela wynosi:
Jak wynika z powyższych obliczeń zbudowany przez inwestora portfel składający się z dwóch akcji charakteryzuje się następującymi parametrami: E(Rp) = 9,2% oraz σp = 5,56%.
Widzimy, że wartość oczekiwana stóp zwrotu portfela jest niższa, niż wartość oczekiwana dla akcji spółki Alfa, jednak pozostaje wyższa niż dla akcji spółki Beta.
Jednak odchylenie standardowe, a zatem ryzyko portfela jest niższe niż odchylenia standardowe każdej z akcji Alfa i Beta. Jak widać zbudowanie portfela z więcej niż jednej akcji skutkuje obniżeniem ryzyka inwestycyjnego. Przyczyną tego jest ujemna korelacja stóp zwrotu, która w rozważanym przypadku wynosiła (–0,4).
Jeżeli współczynnik korelacji byłby dodatni i wynosił np. (+0,4), wówczas po podstawieniu do wzorów odchylenie standardowe stóp zwrotu stanowiłoby 7,85%. To więcej niż dla korelacji ujemnej, lecz w dalszym ciągu mniej niż dla którejkolwiek z akcji znajdujących się w portfelu.
Jak wpływa współczynnik korelacji na odchylenie standardowe portfela zbadajmy dla jego szczególnych wartości (-1), 0, (+1). Po podstawieniu do wzoru (5) otrzymujemy:
Jak widać wraz ze zbliżaniem się współczynnika korelacji do wartości (-1) spada ryzyko portfela akcji. I odwrotnie – przy współczynniku korelacji równym (+1) ryzyko portfela jest najwyższe. Dla wartości granicznych współczynnika korelacji wzór (5) na odchylenie standardowe ulega uproszczeniu:
(6)
Z wzoru tego można określić, przy jakich udziałach ryzyko portfela składającego się z dwóch akcji o idealnie odwrotnej korelacji będzie równe zeru:
(7)
(8)
Przykład 2.
Obliczmy, jakie udziały akcji spółki A i B, idealnie skorelowanych ujemnie, pozwalają na konstrukcję portfela pozbawionego ryzyka, jeżeli odchylenia standardowe stóp zwrotu tych akcji wynoszą odpowiednio 10% oraz 15%.
W przypadku korelacji idealnie dodatniej, kiedy ρ12 = +1, wzór na obliczanie odchylenia standardowego przyjmuje postać:
(9)
Korzystając z zależności przedstawionej we wzorze (1) otrzymujemy liniową zależność wielkości odchylenia standardowego od udziału jednej z akcji.
(10)
Dla podanego powyżej przykładu odchylenie standardowe portfela wynosi:
W rzeczywistości trudno znaleźć aktywa o idealnej korelacji ujemnej i dodatniej. Jednak te skrajne przypadki posłużą dalszej analizie strategii inwestycyjnych opartych na analizie portfelowej.
Dodaj komentarz
